Nous avons maintenant tous les outils pour traiter un problème de mécanique. Avec la loi de comportement nous avons combler le déficit entre le nombre d’équations et le nombre d’inconnues. Avec un critère de limite élastique, nous savons vérifier la validité concernant l’utilisation de la loi élastique linéaire.

En définitive, on pourrait penser qu’il suffit maintenant de traiter le problème simplement du point de vue mathématique. Hélas, la réalité est toute autre. Le problème est complexe, car pour déterminer les inconnues (3 fonctions déplacement, 6 fonctions déformation, 6 fonctions contrainte) nous avons effectivement le bon nombre d’équations mais ces dernières peuvent prendre une forme différentielle du premier ordre (relations déformation – déplacement) ou du second ordre (équations d’équilibre, équations de compatibilité …). Si bien que, même avec la connaissance des conditions aux limites (portant soit sur les déplacements, soit sur les efforts), il est pratiquement impossible de donner une solution analytique exacte du problème dans le cas général.

La détermination de la solution passe alors soit par des méthodes numériques approchées (différences finies, éléments finis …), soit par des méthodes inverses permettant de simplifier le problème posé. Les schémas de résolution permettent de traiter ces méthodes inverses. Ils sont basés sur le fait que la solution existante est généralement unique.

Indépendamment des critères associés à la loi de comportement, les états de contrainte et de déformation solutions du problème ne sont pas quelconques. Ils doivent vérifier certaines conditions qui permettent de les classer dans les champs admissibles ou non.

Un champ de contrainte est Statiquement Admissible s’il vérifie les conditions statiques, c’est à dire s’il satisfait aux équations d’équilibre (ou aux équations de Navier) et s’il permet de valider les conditions aux limites sur les forces.

Un champ de déformation est Cinématiquement Admissible s’il vérifie les conditions cinématiques, c’est à dire s’il satisfait aux équations de compatibilité (ou aux équations de Beltrami) et s’il permet de valider les conditions aux limites sur les déplacements.

Un problème est dit Régulier si en tout point de la surface délimitant le domaine d’étude nous connaissons les trois composantes complémentaires de l’effort et du déplacement.

Cette dernière définition mérite une petite explication. Considérons par exemple le cas d’un solide en déplacement sur une surface lisse. On peut admettre que le frottement est nul. En conséquence, on peut affirmer que pour le vecteur déplacement, la composante normale au plan tangent commun est nulle. Par contre les deux composantes tangentielles de la résultante des inter efforts sont nulles aussi. Vu la complémentarité des informations, on dira que localement le problème est régulier.

En fait pour qu’un problème soit régulier, il faut que l’intégrale représentant le travail des efforts de contact puisse se décomposer en deux termes :

Le premier terme représente le travail des efforts donnés dans le déplacement inconnu et le second représente le travail des efforts de contact inconnu dans les déplacements donnés.

Fort de toutes ces définitions, il est alors possible de démontrer le théorème d’unicité :

Si, pour un problème régulier, on a trouvé un champ de contrainte statiquement admissible associé par l’intermédiaire de la loi de comportement à un champ de déformation cinématiquement admissible, alors on a la solution unique du problème.

Dans ce théorème, non démontré dans ce cours, il faut surtout remarquer que pour un problème régulier, la solution existe et elle est unique.

Dans la suite nous admettrons que tous nos problèmes sont des problèmes réguliers.

En conséquence, peu importe le chemin utilisé pour obtenir la solution d’un problème régulier, seul compte le résultat. Toutefois il faut aussi comprendre que la solution en terme de contrainte ne pourra être trouvé que dans les champs statiquement admissible, alors que la solution en terme de déformation ne se trouvera que dans les champs cinématiquement admissible.

Il est alors possible de concevoir des schémas de résolution basés sur le principe suivant. En premier lieu, à partir de l’expérience et de la logique, on formule des hypothèses simplificatrices permettant de réduire notablement le nombre d’inconnues du problème. Ensuite on vérifie si ces hypothèses permettent d’avoir un champ de contrainte statiquement admissible et un champ de déformation cinématiquement admissible. Enfin, si tous les tests sont corrects, on vérifie enfin que l’on est bien en droit d’employer la loi de comportement en utilisant les critères limites.

Cette méthode présente l’avantage de donner des solutions analytiques exacte dans des cas simples. Ensuite par superposition, il est possible d’envisager des cas plus complexes. De plus historiquement, la détermination de solutions analytiques a permis de faire le calage des codes de calcul numérique. Il n’est pas rare en effet de valider de nouveaux éléments numériques en faisant la comparaison des résultats de calcul avec un cas d’école.

Il est à noter que cette méthode n’est valable que si elle correctement utilisée. En particulier, il faut impérativement faire tous les tests avant d’affirmer que l’on détient la solution.

Imaginons que nous ayons à définir la solution d’un tube sollicité par une pression intérieure au rayon , une pression extérieure au rayon et une traction sur les surfaces extrémités.

Il est possible de faire des hypothèses sur les composantes du champ de déplacement. En effet, vu les symétries du problème, on peut raisonnablement penser que le champ de déplacement n’a pas de composantes orthoradiales, que la composante radiale ne dépend que de la coordonnée radiale et que la composante axiale n’est fonction de la coordonnée axiale. On suppose que, dans la base cylindro-polaire, le champ de déplacement est de la forme :

Essayons de valider nos hypothèses. Dans un premier temps on peut remarquer que comme dans notre problème nous n’avons aucune condition de déplacement imposé sur la surface de notre domaine et que d’autre part nous partons d’un champ de déplacement, le champ de déformation associé sera nécessairement cinématiquement compatible.

Il reste à vérifier que le champ de contrainte associé soit statiquement admissible. En ce qui concerne les équations d’équilibre, on pourrait être tenté d’utiliser les équations de Navier, mais il faudra ensuite déterminer les composantes du tenseur des contraintes afin de valider les conditions aux limites sur les forces. Aussi autant calculer immédiatement les composantes du tenseur des contraintes.

Pour cela il faut utiliser les relations déplacement – déformation afin d’obtenir les composantes du tenseur des déformations. Attention les calculs doivent se faire dans la base cylindro-polaire et les formules utilisant les opérateurs différentiels (gradient, divergence, laplacien …) n’ont pas les mêmes expressions indicielles que dans le cas d’une base cartésienne. On a donc :

Il est à noter qu’avec ces hypothèses les distorsions angulaires sont nulles, ce qui est logique si on imagine la déformation du tube. Nous sommes avec les axes principaux.

Comme la loi de comportement élastique linéaire est définie pour un matériau isotrope, elle peut être utilisée sous la même forme indicielle dans n’importe qu’elle base. On a alors pour les composantes du tenseur des contraintes :

Avec :

Il reste maintenant à vérifier que le tenseur obtenu est bien statiquement admissible. Pour cela commençons par valider les équations d’équilibre, toujours en faisant bien attention à utiliser des formules valables en coordonnées cylindro-polaire. Comme le domaine est supposé être en équilibre et que les forces de volumes sont négligeables, le tenseur des contraintes doit avoir une divergence nulle :

Compte tenu du fait que le tenseur des contraintes est diagonal, nous obtenons :

Avec les hypothèses faites, la deuxième équation est identiquement satisfaite. La première et la troisième équation nous apportent deux équations différentielles :

Les solutions sont de la forme :

Ce qui nous donne les expressions suivantes pour les composantes du tenseur des contraintes :   

avec            

Soit avec le module d’Young et le coefficient de Poisson :    

Avec les conditions aux limites, il est possible de fixer les constantes d’intégration :

La constante n’est pas fixée, mais en fait quelque soit sa valeur, les expressions des tenseurs des contraintes et des déformations sont les mêmes. En fait cette constante traduit un déplacement de solide indéformable le long de l’axe du tube.

Pour terminer l’étude, il ne reste qu’à vérifier que l’état de contrainte obtenu en tout point soit en accord avec la limite élastique du matériau, ce qui peut être fait en employant par exemple le critère de Von Misès :

Le cas le plus défavorable étant obtenu au rayon extérieur, on a :