Sous réserve d’admettre certains résultats, il est possible de déterminer la loi de comportement traduisant l’élasticité linéaire sans faire appel aux notions de thermodynamique. Toutefois, afin de rester encore un peu général et d’avoir les bagages mathématiques qui par la suite permettront d’établir d’autre lois de comportement (comme la plasticité), nous allons maintenant regarder les deux principes de la thermodynamique. De plus il ne faut pas oublier que de nombreux problèmes technologiques impliquent un couplage entre les effets mécaniques et les phénomènes thermiques.

Ce premier principe est encore appelé loi de conservation de l’énergie. Il exprime le fait que la variation de l’énergie totale (énergie interne et énergie cinétique) d’un domaine est égale à la somme de la puissance des efforts extérieurs développés sur le système et de la quantité de chaleur apportée au système par unité de temps.

On remarquera cette fois l’emploi de la notation qui est utilisée pour indiquer que les fonctions dérivées ne sont pas des fonctions d’état et qu’elles ne dérivent pas d’un potentiel.

L’énergie interne est une grandeur extensive (additive) et on peut définir une énergie interne massique :

De la même façon, on pourra écrire pour l’énergie cinétique :

Pour la détermination de la quantité de chaleur apportée au système par unité de temps, on suppose que les échanges sont de deux types :

        Surfacique Þ conduction

        Volumique Þ rayonnement

Le terme de conduction sur la surface frontière est l’intégrale de surface d’une densité surfacique , où représente la normale extérieure en M à la surface. Cette densité s’exprime sous la forme d’un flux d’un vecteur courant de chaleur sortant :

Par convention, les quantités de chaleur reçues par le système seront notées positivement et celles perdues négativement.

Le terme de rayonnement est l’intégrale d’une densité volumique qui correspond au taux de chaleur reçue (rayonnement externe, effet joule, réaction chimique interne …).

On a donc pour la quantité de chaleur apportée au système par unité de temps :

L’équation de conservation de l’énergie se met sous la forme suivante :

D’autre part on peut utiliser le théorème de l’énergie cinétique :

Le premier principe de la thermodynamique peut donc se mettre sous la forme :

En utilisant l’équation de continuité et en appliquant les théorèmes de la divergence et de l’intégrale nulle, on peut donner une expression locale de ce bilan :

On peut donc dire que la variation de l’énergie interne massique est due à la puissance massique dissipée par les efforts intérieurs et à un apport de chaleur.