Dans le chapitre précédent, nous avons expliqué la nécessité d’écrire des relations issues de l’expérience afin de solutionner un problème. Nous allons maintenant étudié de façon plus approfondie l’une de ces lois de comportement, l’élasticité linéaire.

Dans la pratique, c’est certainement le comportement qui est le plus facilement employé. Il s’applique, moyennant certaines approximations, dans de nombreux cas. Pratiquement tous les métaux présentent ces propriétés, sous réserve que le niveau de contrainte ne soit pas trop élevé. Mais la théorie de l’élasticité linéaire peut aussi s’appliquer à des matériaux non isotropes, comme le bois par exemple. La mécanique des sols utilise aussi cette théorie. Enfin, dans une certaine mesure, les matières plastiques peuvent avoir une phase de comportement élastique.

Toutefois la loi que nous utiliserons sera limitée à des matériaux isotropes, c’est à dire que la formulation de cette loi de comportement doit être identique quel que soit le référentiel utilisé, lié ou non au matériau étudié.

Si le matériau est homogène, isotrope, si la transformation est continue, infinitésimale, monotherme réversible, si le domaine ne subit aucune transformation chimique, ni de changement d’état, si le comportement est linéaire, alors nous avons les relations suivantes :

avec : : tenseur des contraintes dans la configuration initiale

                : température dans la configuration initiale

et avec les relations :

Premier coefficient de Lamé = Module de Coulomb

Deuxième coefficient de Lamé

Module d'Young

Coefficient de Poisson

Coefficient de dilatation thermique linéaire

Dans le cas d’une transformation isotherme à partir d’un état initial naturel (sans contraintes initiales), les formules prennent les expressions suivantes :

En notation indicielle, on obtient, dans n’importe quelle base (isotropie du comportement) :

On peut facilement constater avec ces relations que les bases principales de l’état de déformation et de l’état de contrainte sont confondues.

La loi de comportement n’est caractérisée que par deux grandeurs indépendantes, par exemple les coefficients de Lamé ou le module d’Young et le coefficient de Poisson. Généralement on préfère employer ces deux dernières grandeurs que l’on peut facilement déterminer par un simple essai de traction. Le tableau suivant donne certaines de ces valeurs pour une température de 20°C:

(Valeurs données dans l’ouvrage de G. DUVAUT)