Tenseur Gradient
Il convient de bien différencier la notion de déplacement de la notion de déformation. Ainsi que nous avons déjà pu le constater en faisant l'étude mécanique des solides dits indéformables, il existe des champs vectoriels de déplacement qui ne créent aucune déformation.
Autant il est facile de définir le champ vectoriel des déplacements, autant la notion de déformation est délicate à bien cerner. Ainsi que nous allons le voir nous ne pourrons pas parler d'une déformation, mais de scalaire déformation, de vecteur déformation et de tenseur d'ordre 2 des déformations. Il convient donc de bien faire attention à toutes ces entités.
Pour matérialiser la déformation, on étudie la transformation d'un vecteur "matériel", c'est à dire d'un vecteur ayant origine et extrémité confondus avec des points matériels. Toutefois on conçoit bien que l'état de déformation n'étant généralement pas homogène dans la matière, il faille utiliser des points matériels infiniment voisins afin de bien caractériser la déformation au voisinage d'un élément matériel.
Nous sommes ainsi amenés à considérer la transformation suivante :
D'autre part, nous avons les relations suivantes :
Par abus de langage, et pour rester dans la tradition, nous écrirons :
Sous forme différentielle nous obtenons :
et 
Ces relations nous permettent de mettre en évidence les composantes d'un tenseur déterminé par :
avec 
On peut donc écrire :
Ce qui implique :
Le tenseur 
qui apparaît est appelé "tenseur gradient" ou encore
"application linéaire tangente". Il permet de caractériser les différentes
transformations.
Les composantes de ce tenseur peuvent être calculées à partir du champ de déplacement en différenciant la relation suivante :
On a donc :
