Nous venons de décrire un problème de mécanique sous deux angles différents. D’un coté, une description cinématique nous a permis d’introduire les quantités tensorielles de déformation, de l’autre coté, par une description dynamique, nous avons obtenu les quantités tensorielles de contrainte.

Toutefois, l’expérience montre qu’il est impossible de dissocier les deux approches et qu’il y a une dépendance étroite entre ces deux descriptions. Il existe une dualité entre les notions de déplacement – déformation et les notions de force – contrainte. A tel point qu’il est souvent impossible de définir la cause de l’effet.

Prenons par exemple le cas d’une poutre console encastrée à une extrémité et libre à son autre extrémité. Plusieurs cas de sollicitation peuvent apparaîtrent. On peut envisager qu’à son extrémité libre on impose une force F d’intensité connue (pilotage en force). On obtient alors une déformation générale de la poutre qui se traduit aussi par une flèche mesurable à l’extrémité libre. A l’inverse, on peut, par un système mécanique imposer la flèche f à l’extrémité libre (pilotage en déplacement). Cette déformation ne pourra être obtenu que si le système mécanique exerce une certaine force sur la poutre. Ces deux exemples montrent bien que ce qui est la cause (resp. l’effet) dans un cas peut devenir l’effet (resp. la cause) dans l’autre cas. Il est même possible de compliquer un peu l’étude précédente en imaginant qu’il existe un appui élastique à l’extrémité libre de la poutre. On établit ainsi une relation entre la force et le déplacement, relation donnée par la fonction de réponse de l’appui élastique.

Dans une étude de mécanique il est nécessaire de définir toutes les variables. Il convient donc d’en faire le dénombrement et de rechercher toutes les équations à notre disposition pour mener à bien cette étude.

Les variables peuvent se classer dans les deux catégories cinématique et dynamique. Pour l’aspect cinématique on peut, dans l’hypothèse des petites perturbations dire que les variables d’étude sont le champ vectoriel de déplacement et le champ tensoriel de déformation. Du coté de l’aspect dynamique, les seules variables d’études sont les composantes du champ tensoriel de contrainte. Le dénombrement des inconnues d’une étude de mécanique est alors le suivant :

                        Masse                                     1 scalaire                          1 fonction scalaire

                        Champ de déplacement     1 vecteur                     3 fonctions scalaires

                        Champ de déformation             1 tenseur symétrique         6 fonctions scalaires

                        Champ de contrainte             1 tenseur symétrique 6 fonctions scalaires

Pour ce qui concerne les équations, nous avons à notre disposition d’une part les relations déplacement – déformation issue de l’étude cinématique, d’autre part les équations d’équilibre issues de l’étude dynamique. Le dénombrement des équations disponibles est alors le suivant :

                        Equation de continuité                                 1 relation

                        Relations déplacement – déformation                 6 relations

                        Equations d’équilibre (équation de résultante) 3 relations

Il est à noter que dans ce dénombrement d’équations, il n’est pas fait état de l’équation du moment dynamique, cette dernière étant directement utilisée pour obtenir un tenseur des contraintes symétrique.

Le bilan inconnues – équations montre brutalement qu’il existe un déficit de 6 relations pour traiter un problème de mécanique. Ce déficit sera comblé par les relations issues de l’expérience, relations que l’on appellera Lois de comportement. Pour être correctes, les nouvelles équations doivent respecter certaines conditions et en particuliers ne pas aller à l’encontre des principes fondamentaux de la physique (mécanique et thermodynamique). Il convient donc dans un premier temps de formuler clairement ces principes en fonction de nos inconnues d’étude. Ces principes faisant apparaître essentiellement des quantités énergétiques, il nous faut les expressions des grandeurs utilisées.