Exemple 6.2 :    Calcul de la contrainte critique d'une plaque rectangulaire comprimée en utilisant la méthode de Rayleigh-Ritz

Utilisant la méthode de Rayleigh-Ritz, déterminer la contrainte critique d'une plaque rectangulaire longue (a >> b) simplement appuyée sur ses bords  (transversaux et longitudinaux) et soumise à la compression variable linéairement représentée à la figure 1.

1

Figure 1 - Plaque rectangulaire longue soumise à des contraintes de compression linéairement variables

avec:       E            module d’élasticité

              n            coefficient de Poisson

              t             épaisseur de la plaque

On admet que la configuration déformée de la plaque voilée est donnée par :

                                                                         w(x, y) = sin

et on considère les cas où p = 1 et p = 2

On compare les résultats obtenus ici avec la valeur exacte de la contrainte critique de la plaque qui vaut :

                                σcr = 


SOLUTION

La variation de l'énergie potentielle de la plaque est donnée par :

                                   δ2 V = δ2 U + δ2 Ω

avec :                                                                                      δ2 U = 

où :         D =

                            est l'énergie de déformation associée à la configuration déformée de la plaque voilée (mode de voilement)

et :          δ2 Ω = 

                            est la variation du potentiel des charges appliquées Nx, Ny (résultantes des contraintes normales) et Nxy (résultantes des contraintes de cisaillement).

Sachant que dans ce cas, nous avons :

                                                                        Ny = Nxy = 0          Nx =

et que :                                                        w (x, y) = 

                                                               = 

                                                           =

                                                             = 

                                                          = 

                                 = 

                                 = 

                                  = 

                             =

                              = 

faisant :                                                                     x = a z      y = bh      f =

et utilisant le fait que :                                  sin mpz sin npz dz = cos mpz cos npx dz =

                                      z sin mpz sin npz dz =

on obtient l'expression suivante pour δ2 V :

             δ2 V = 


          q1 0          q2 = 0          (méthode du coefficient de Rayleigh)

                           δ2 V = 

                                                             = 

                                                             Þ  q1 = 0        ou        σ º σm =

                                        

                                                                              


          q1 0          q2 0

                                         

                             q1 = q2 = 0     ou      = 0

Þ     q1 = q2 = 0          ou                     σ º σm = B (racine la plus petite)

                                                                                                    B = 

                                                              = 0    Þ    m » 1,017 f    Þ    Bmin . 8,385 f2

                 σcr º (σcr)2 =      Þ     


Comme la méthode de Rayleigh-Ritz fournit toujours des limites supérieures de la valeur exacte de la contrainte critique, on a :

                               σcr # 

On observe que la considération de p = 1 conduit à une erreur d’environ 2,5 % et que avec p = 2 un résultat pratiquement exact est obtenu. Ça veut dire qu'il n'est pas nécessaire de considérer plus que deux termes dans l'expression de la configuration déformée de la plaque voilée.