Utilisant la méthode de Rayleigh-Ritz, déterminer la contrainte critique d'une plaque rectangulaire longue (a >> b) simplement appuyée sur ses bords (transversaux et longitudinaux) et soumise à la compression variable linéairement représentée à la figure 1.
Figure 1 - Plaque rectangulaire longue soumise à des contraintes de compression linéairement variables
avec: E module d’élasticité
n coefficient de Poisson
t épaisseur de la plaque
On admet que la configuration déformée de la plaque voilée est donnée par :
w(x, y) = sin
et on considère les cas où p = 1 et p = 2
On compare les résultats obtenus ici avec la valeur exacte de la contrainte critique de la plaque qui vaut :
σcr =
La variation de l'énergie potentielle de la plaque est donnée par :
δ2 V = δ2 U + δ2 Ω
avec : δ2 U =
où : D =
est l'énergie de déformation associée à la configuration déformée de la plaque voilée (mode de voilement)
et : δ2 Ω =
est la variation du potentiel des charges appliquées Nx, Ny (résultantes des contraintes normales) et Nxy (résultantes des contraintes de cisaillement).
Sachant que dans ce cas, nous avons :
Ny = Nxy = 0 Nx =
et que : w (x, y) =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
faisant : x = a z y = bh f =
et utilisant le fait que : sin mpz sin npz dz = cos mpz cos npx dz =
z sin mpz sin npz dz =
on obtient l'expression suivante pour δ2 V :
δ2 V =
q1 0 q2 = 0 (méthode du coefficient de Rayleigh)
δ2 V =
=
Þ q1 = 0 ou σ º σm =
q1 0 q2 0
q1 = q2 = 0 ou = 0
Þ q1 = q2 = 0 ou σ º σm = B (racine la plus petite)
B =
= 0 Þ m » 1,017 f Þ Bmin . 8,385 f2
σcr º (σcr)2 = Þ
Comme la méthode de Rayleigh-Ritz fournit toujours des limites supérieures de la valeur exacte de la contrainte critique, on a :
σcr #
On observe que la considération de p = 1 conduit à une erreur d’environ 2,5 % et que avec p = 2 un résultat pratiquement exact est obtenu. Ça veut dire qu'il n'est pas nécessaire de considérer plus que deux termes dans l'expression de la configuration déformée de la plaque voilée.